Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，分母不為0，列出不等式求出解集即可；
（2）利用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$，
∴x+1≠0，解得x≠-1；
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠-1}；
（2）證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（2-$\frac{3}{{x}_{1}+1}$）-（2-$\frac{3}{{x}_{2}+1}$）=$\frac{3}{{x}_{2}+1}$-$\frac{3}{{x}_{1}+1}$=$\frac{3{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$；
又1≤x₁＜x₂，
∴3（x₁-x₂）＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的定義域和利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．