Question

設函數f（x）=x-

1

x

-alnx（a∈R）．
（1）當a=2時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁和x₂，記過點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由；
（3）證明：

n

k=2

ln

k-1

k+1

＞

2-n-n2

2n(n+1)

（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導，令f′（x）=

x2-2x+1

x2

≥0，即可求f（x）的單調區(qū)間；
（2）假設存在a，使得k=2-a，根據（1）利用韋達定理求出直線斜率為k，根據（1）函數的單調性，推出矛盾，即可解決問題；
（3）證明

n

k-2

ln

k-1

k+1

=ln

2

n(n+1)

，利用分析法，即可證明結論．

解答： 解：（1）f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=

x2-2x+1

x2

≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）由f（x）有兩個極值點x₁和x₂，知，a＞2．
∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

-a（lnx₁-lnx₂），
∴k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=1+

1

x1x2

-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
又f（x）=x-

1

x

-alnx，∴f′（x）=

x2-ax+1

x2

由f（x）有兩個極值點x₁和x₂，可得x₁x₂=1．于是k=2-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
若存在a，使得k=2-a，則

lnx1-lnx2

x1-x2

=1，即lnx₁-lnx₂=x₁-x₂，
亦即x2-

1

x2

-2lnx2=0（*）
再由（1）知，函數h（t）=t-

1

t

-2lnt在（0，+∞）上單調遞增，
而x₂＞1，
∴x2-

1

x2

-2lnx2＞1-1-2ln1=0，這與（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．
（3）∵

n

k=2

ln

k-1

k+1

=ln

2

n(n+1)

，
∴

n

k=2

ln

k-1

k+1

＞

2-n-n2

2n(n+1)

?ln

2

n(n+1)

＞

2-n-n2

2n(n+1)

?ln

n(n+1)

2

＜

n2+n-2

2n(n+1)

，
令x=

n(n+1)

2

＞1，則ln

n(n+1)

2

＜

n2+n-2

2n(n+1)

?x-

1

x

-2lnx＞0，
由上知x-

1

x

-2lnx＞0成立，∴

n

k=2

ln

k-1

k+1

＞

2-n-n2

2n(n+1)

．

點評：此題是個難題．考查利用導數研究函數的單調性和極值問題，對方程f'（x）=0有無實根，有實根時，根是否在定義域內和根大小進行討論，體現了分類討論的思想方法，其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．