Question

設函數f（x）=|x²-2x-1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），則ab-a-b的取值范圍為（　�。�

• A、（-2，3）
• B、（-2，2）
• C、（1，2）
• D、（-1，1）

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：作出函數f（x）的圖象，由a＞b＞1，且f（a）=f（b）可得 （a-1）²+（b-1）²=4．設a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，

π

4

），根據ab-a-b=2sin2θ-1，利用正弦函數的定義域和值域求得ab-a-b的范圍．

解答：解：作出函數f（x）的圖象，如圖：可得f（x）=|x²-2x-1|的圖象關于直線x=1對稱，
且f（1-

2

）=f（1+

2

）=0，f（3）=f（-1）=f（1）=2，
由a＞b＞1，且f（a）=f（b），得a²-2a-1=-（b²-2b-1），整理得 （a-1）²+（b-1）²=4．
設a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，

π

4

），則ab-a-b=（a-1）（b-1）-1=2sin2θ-1，
由sin2θ∈（0，1），可得2sin2θ-1∈（-1，1），即ab-a-b∈（-1，1），
故選：D．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，三角代換、正弦函數的定義域和值域，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．