Question

【題目】已知⊙M：（x+1）2+y2= 的圓心為M，⊙N：（x﹣1）2+y2= 的圓心為N，一動(dòng)圓M內(nèi)切，與圓N外切． （Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為曲線P與x軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線P交于C，D兩點(diǎn)．若 =12，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則 ， 兩式相加，得|PM|+|PN|=4＞|MN|，
由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，焦距為2，實(shí)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
∴動(dòng)圓圓心P的軌跡方程
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，
則 ，
則 ．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），
設(shè)C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），A（﹣2，0），B（2，0），
聯(lián)立 ，消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．
則有 ，

=
= =
由已知，得 ，解得 ．
故直線l的方程為 ．
【解析】（Ⅰ）由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，焦距為2，實(shí)軸長(zhǎng)為4的橢圓，由此能求出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1， ．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立 ，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．