Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率e=

2

2

，O為原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓的一短軸端點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離為4

2

．
（1）求橢圓E的方程
（2）若M（X₀，Y₀）為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，其中2＜Y₀＜

31 2

，過點(diǎn)M作圓x²+（y-1）²=1的兩切線，兩切線與x軸圍成的三角形面積為S，求S關(guān)于y₀的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得a=4

2

，

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)切線kx-y+y₀-kx₀=0，切線與x軸交點(diǎn)為（x0-

y0

k

，0），圓心到切線的距離為d=

|-1+y0-kx0|

k2+1

=1，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出兩切線與x軸圍成的三角形的面積S關(guān)于y₀的函數(shù)解析式．

解答： 解：（1）∵橢圓的橢圓的一短軸端點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離為4

2

，
∴a=4

2

，
∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率e=

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，
解得a=4

2

，b=c=4，
∴橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1．
（2）設(shè)切線y-y₀=k（x-x₀），即kx-y+y₀-kx₀=0，
切線與x軸交點(diǎn)為（x0-

y0

k

，0），圓心到切線的距離為d=

|-1+y0-kx0|

k2+1

=1，
化簡，得(x02-1)k2+2x0(1-y0)k+y02-2y0=0，
設(shè)兩切線斜率分別為k₁，k₂，則

k1+k2=- 2x0(1-y0) x02-1 k1k2= y02-2y0 x02-1

，
S=

1

2

|（x0-

y0

k1

）-（x0-

y0

k2

）|•y₀
=

1

2

•

|k1-k2|

|k1k2|

=

y0 x02+y02-2y0

y0-2

=

y0 32-y02-2y0

y0-2

，
∴兩切線與x軸圍成的三角形的面積S關(guān)于y₀的函數(shù)解析式為：
S=

y0 32-y02-2y0

y0-2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查函數(shù)解析式的求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．