Question

已知橢圓E：（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P（3，1），其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M，N是直線(xiàn)x=5上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F₁M⊥F₂N，圓C是以MN為直徑的圓，其面積為S，求S的最小值以及當(dāng)S取最小值時(shí)圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），代入求出c，再根據(jù)橢圓的定義求出2a，從而求得橢圓的方程；
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)分別為（5，m），（5，n），根據(jù)F₁M⊥F₂N，得到mn=-9，要求以MN為直徑的圓的面積最小，即求MN最小，利用基本不等式即可求得線(xiàn)段MN的最小值，從而求得S的最小值以及當(dāng)S取最小值時(shí)圓C的方程．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0）（c＞0），
則，
故，可得c=4，
所以，
故，
所以橢圓E的方程為．
（2）設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（5，m），（5，n），
則，又，
可得，即mn=-9，
又，（當(dāng)且僅當(dāng)|m|=|n|時(shí)取等號(hào)）
故，且當(dāng)S取最小值時(shí)，
有m=3，n=-3或m=-3，n=3，
此時(shí)圓C的方程為（x-5）²+y²=9．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及圓與橢圓的綜合等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問(wèn)題的能力．