Question

17．已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C₁：x²+y²-6x+5=0．
（1）求直線(xiàn)l與圓相交時(shí)，它的斜率K的取值范圍；
（2）當(dāng)l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B時(shí)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將圓C₁的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑，利用圓心到直線(xiàn)的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，求出k的取值范圍；
（2）設(shè)當(dāng)直線(xiàn)l的方程為y=kx，通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)l與圓C₁的方程，利用根的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計(jì)算即得結(jié)論

解答 解：（1）∵圓C₁：x²+y²-6x+5=0，
整理，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+y²=4，
∴圓C₁的圓心坐標(biāo)為（3，0），半徑為2，
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx，即kx-y=0，
∴圓心到直線(xiàn)的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，∴-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤k≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
與圓C₁，聯(lián)立方程組，消去y可得：（1+k²）x²-6x+5=0，
由△=36-4（1+k²）×5＞0，可得k²＜$\frac{4}{5}$．
由韋達(dá)定理，可得x₁+x₂=$\frac{6}{1+{k}^{2}}$，
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{3k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，其中-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，其中$\frac{5}{3}$＜x≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求圓的方程、直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．