Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)A為該橢圓的左頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，三角形ABC的面積為18．

求橢圓的方程；

如圖，當(dāng)動(dòng)直線BC斜率存在且不為0時(shí)，直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M、N，問x軸上是否存在點(diǎn)P，使得，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】 ； 存在，P或.

【解析】

由離心率及三角形ABC的面積和a，b，c之間的關(guān)系求出橢圓方程；

由知A的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的方程，及B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而寫直線AB，AC的方程，與直線聯(lián)立求出M，N的坐標(biāo)，假設(shè)存在P點(diǎn)，是，使，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：由已知條件得，解得；

所以橢圓的方程為；

設(shè)動(dòng)直線BC的方程為，，，

則直線AB、AC的方程分別為和，

所以點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為，

聯(lián)立得，

所以；

于是，

假設(shè)存在點(diǎn)滿足，則，所以或5，

所以當(dāng)點(diǎn)P為或時(shí)，有．