Question

4．《數(shù)學九章》中對已知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隔，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{c}^{2}{a}^{2}-（\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2}）^{2}]}$．現(xiàn)有周長為4+$\sqrt{10}$的△ABC滿足sinA：sinB：sinC=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：
（$\sqrt{2}$+1），試用以上給出的公式求得△ABC的面積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由題意和正弦定理求出a：b：c，結(jié)合條件求出a、b、c的值，代入公式求出△ABC的面積．

解答 解：因為sinA：sinB：sinC=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：（$\sqrt{2}$+1），
所以由正弦定理得，a：b：c=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：（$\sqrt{2}$+1），
又△ABC的周長為4+$\sqrt{10}$，
則a=$\frac{（\sqrt{2}-1）（4+\sqrt{10}）}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}$、b=$\frac{\sqrt{5}（4+\sqrt{10}）}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}$、c=$\frac{（\sqrt{2}+1）（4+\sqrt{10}）}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}$，
所以△ABC的面積S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{c}^{2}{a}^{2}-（\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}[\frac{（4+\sqrt{10}）^{4}}{（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{4}}-\frac{（4+\sqrt{10}）^{4}}{4（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{4}}]}$=$\frac{\sqrt{3}（4+\sqrt{10}）^{2}}{4（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查正弦定理，以及新定義在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．