Question

9．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC=CC₁，設AB₁的中點為D，BC₁∩B₁C=E．求證：
（Ⅰ）DE∥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）BC₁⊥AB₁．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得DE∥AC，由此能證明DE∥平面AA₁C₁C．
（2）推導出BC₁⊥B₁C，AC⊥CC₁，AC⊥BC，從而AC⊥平面BCC₁B₁，進而AC⊥BC₁，由此能證明BC₁⊥AB₁．

解答 證明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁∩B₁C=E，
∴E是B₁C的中點，
∵AB₁的中點為D，∴DE∥AC，
∵AC?平面AA₁C₁C，DE?平面AA₁C₁C，
∴DE∥平面AA₁C₁C．
（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，
∴BC₁⊥B₁C，AC⊥CC₁，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，∴AC⊥BC₁，
∵AC∩B₁C=C，∴BC₁⊥平面ACB₁，
∴BC₁⊥AB₁．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．