Question

10．如圖，某邊路清掃機構為預備融化道路積雪，需要在冬天儲備$\frac{500}{3}$π（m³）的工業(yè)食鹽，其食鹽堆成底面半徑為r（m），高為h（m）的圓錐，并用防水材料S（m²）遮蔽食鹽（不考慮接縫與重疊，即面積與圓錐側面積相同）
（1）用h來表示S；
（2）為使得所用遮蔽的防水材料最少，其圓錐形的底面半徑應為多少？此時所用防水材料的表面積為多少？

Answer 1

分析 （1）根據體積得出h與r的關系，代入側面積公式即可；
（2）求出S（h）的最小值即可．

解答 解：（1）∵V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h=\frac{500π}{3}$，∴r=$\frac{10\sqrt{5h}}{h}$．
∴圓錐的母線l=$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$=$\sqrt{\frac{500}{h}+{h}^{2}}$．
∴S（h）=πrl=π×$\frac{10\sqrt{5h}}{h}$×$\sqrt{\frac{500}{h}+{h}^{2}}$=$\frac{10π}{h}\sqrt{2500+5{h}^{3}}$．
（2）S（h）=$\frac{10π}{h}\sqrt{2500+5{h}^{3}}$=10π$\sqrt{\frac{2500}{{h}^{2}}+5h}$．
令f（h）=$\frac{2500}{{h}^{2}}+5h$，則f′（h）=5-$\frac{5000}{{h}^{3}}$．
令f′（h）=0，解得h=10．
當0＜h＜10時，f′（h）＜0，
當h＞10時，f′（h）＞0，
∴當h=10時，f（h）取得最小值f（10）=75．
∴S（h）的最小值為10$π×\sqrt{75}$=50$\sqrt{3}$π．
此時圓錐的底面半徑r=$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓錐的結構特征，側面積及體積計算，屬于中檔題．