Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M；
（i）設(shè)直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證k₁k₂為定值；
（ii）設(shè)過點(diǎn)M垂直于PB的直線為m，求證：直線m過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．
（2）（i）設(shè)P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），則${k}_{1}=\frac{{y}_{0}}{2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，由A、P、B三點(diǎn)共線及P（x₁，y₁）在橢圓上，能證明k₁k₂為定值．
（ii）求出直線m的方程為y-y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2），由此能證明直線m過定點(diǎn)（-1，0）．

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
證明：（2）（i）設(shè)P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），則${k}_{1}=\frac{{y}_{0}}{2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，
∵A、P、B三點(diǎn)共線，∴${y}_{0}=\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{0}{y}_{1}}{2（{x}_{1}-2）}$=$\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{2（{{x}_{1}}^{2}-4）}$，
∵P（x₁，y₁）在橢圓上，∴${{y}_{1}}^{2}=\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）$，
∴${k}_{1}{k}_{2}=\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{2（{{x}_{1}}^{2}-4）}$=-$\frac{3}{2}$為定值．
（ii）直線BP的斜率${k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，直線m的斜率${k}_{m}=\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
則直線m的方程為y-y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2），
y=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2）+y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$x-$\frac{2（2-{x}_{1}）}{{y}_{1}}$+$\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$
=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}x+\frac{2（{{x}_{1}}^{2}-4）+4{{y}_{1}}^{2}}{（{x}_{1}+2）{y}_{1}}$=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}x+\frac{2（{{x}_{1}}^{2}-4）+12-3{{x}_{1}}^{2}}{（{x}_{1}+2）{y}_{1}}$
=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}（x+1）$．
∴直線m過定點(diǎn)（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之積為定值的證明，考查直線過定點(diǎn)的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．