Question

12．（1）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為$\frac{4\sqrt{5}}{3}$和$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，過P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程．
（2）雙曲線的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的$\sqrt{5}$倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可知2a=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$+$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，求得a=$\sqrt{5}$，根據(jù)過P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，利用勾股定理列式解出c的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程；
（2）由題意可知：焦點(diǎn)在y軸上，a=2，c=$\sqrt{5}$a=2$\sqrt{5}$，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知b²=c²-a²，求得b，求得雙曲線的方程．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知：2a=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$+$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，a=$\sqrt{5}$，
由過P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，
∴（$\frac{4\sqrt{5}}{3}$）²-（$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）²=c²，c²=$\frac{5}{3}$，
由b²=a²-c²，
∴b²=$\frac{10}{3}$，
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{10}{3}}=1$，
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上：$\frac{{x}^{2}}{\frac{10}{3}}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
∴橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{10}{3}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{\frac{10}{3}}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），
∴焦點(diǎn)在x軸上，a=2，
由焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的$\sqrt{5}$倍，2c=$\sqrt{5}$•2a，
∴c=$\sqrt{5}$a=2$\sqrt{5}$，
由b²=c²-a²=（2$\sqrt{5}$）²-2²=16，
∴雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單，考查橢圓及雙曲線方程的求法，屬于中檔題．