Question

已知正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)為1，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足

AP

=

3

4

AB

+

1

2

AD

+

2

3

AE

，則P點(diǎn)到直線AB的距離為（　　）

• A．

  5

  6

• B．

  181

  12

• C．

  30

  6

• D．

  5

  6

Answer 1

分析：分別以AB、AD、AE為x軸、y軸、z軸作出空間直角坐標(biāo)系，可得向量

AB

和

AP

的坐標(biāo)，可以分別計(jì)算出它們的長(zhǎng)度．然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到

AB

•

AP

=

3

4

，再用向量的夾角公式得到cos∠PAB=

AB • AP

|AB| • |AP|

=

181

12

，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系得到sin∠PAB=

10

181

，最后可求出P點(diǎn)到直線AB的距離為

|AP|

•sin∠PAB=

5

6

．

解答：解：分別以AB、AD、AE為x軸、y軸、z軸作出空間直角坐標(biāo)系如圖
∵正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)為1
∴

AB

=(1，0，0)
∵

AP

=

3

4

AB

+

1

2

AD

+

2

3

AE

∴

AP

=(

3

4

，

1

2

，

2

3

)
可得

|AP|

=

( 3 4 )2+( 1 2 )2+( 2 3 )2

=

181

12

∵

AB

•

AP

=1×

3

4

+0×

1

2

+0×

2

3

=

3

4

AB

•

AP

=

|AB|

•

|AP|

cos∠PAB
∴cos∠PAB=

AB • AP

|AB| • |AP|

=

3 4

1× 181 12

=

9

181

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，得sin∠PAB=

1-cos2∠PAB

=

10

181

∴P點(diǎn)到直線AB的距離為

|AP|

sin∠PAB=

181

12

•

10

181

=

5

6

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題以正方體中的向量為載體，著重考查了空間向量的數(shù)量積、長(zhǎng)度公式和夾角公式的應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．