Question

【題目】已知拋物線C1：x2=2py（p＞0），點A（p， ）到拋物線C1的準線的距離為2．
（1）求拋物線C1的方程；
（2）過點A作圓C2：x2+（y﹣a）2=1的兩條切線，分別交拋物線于M，N兩點，若直線MN的斜率為﹣1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線定義可得： ，∴p=2，

∴拋物線C1的方程為：x2=4y．

（2）解：設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，

將lAM：y﹣1=k1（x﹣2）代入x2=4y，得：

x2﹣4k1x+8k1﹣4=0， ＞0，

∴k1∈R，且k1≠1，

由韋達定理得：xM=4k1﹣2，同理xN=4k2﹣2，

∴ = （xM+xN）=k1+k2﹣1，

又∵直線lMN：y﹣1=k1（x﹣2）與圓相切，∴ ，

整理可得： ，

同理 ，

∴k1，k2是方程3k2+4k（a﹣1）+a2﹣2a=0的兩個根，）

∴k1+k2=﹣ ，代入kMN=k1+k2﹣1=﹣1，

解得a=1．

【解析】（1）由拋物線定義得： ，由此能求出拋物線C1的方程．（2）設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1 ， k2 ， 將lAM：y﹣1=k1（x﹣2）代入x2=4y，得：x2﹣4k1x+8k1﹣4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線與圓相切、點到直線距離公式，能求出結(jié)果．