Question

16．已知圓O：x²+y²=4，將圓O上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，得到曲線C．
（I）寫出曲線C的參數(shù)方程；
（II）設(shè)直線l：x-2y+2=0與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線m過線段AB的中點(diǎn)，且傾斜角是直線l的傾斜角的2倍，求直線m的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （I）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)Q（x，2y）在圓O上，代入⊙O的方程即可得出直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而得到參數(shù)方程．
（II）直線方程與橢圓方程聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出線段AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，設(shè)直線l的傾斜角為α，則$tanα=\frac{1}{2}$，利用倍角公式可得tan2α．利用點(diǎn)斜式可得直線m的方程，進(jìn)而得出極坐標(biāo)方程．

解答 解：（I）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)Q（x，2y）在圓O上，
∴${x^2}+{（{2y}）^2}=4，即\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴曲線C的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}（{θ為參數(shù)}）}\right.$．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$．
得A（-2，0），B（0，1），∴線段AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)$（-1，\frac{1}{2}）$，
設(shè)直線l的傾斜角為α，則$tanα=\frac{1}{2}$，$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{2×\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{4}}}=\frac{4}{3}$，
∴直線m的方程為：y=$\frac{4}{3}$（x+1）+$\frac{1}{2}$，即8x-6y+11=0，
∴直線m的極坐標(biāo)方程為：8ρcosθ-6ρsinθ+11=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)變換、橢圓的參數(shù)方程、直線與圓相交問題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、倍角公式、點(diǎn)斜式、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．