Question

11．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ+4ρsinθ=3，直線l與曲線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）求線段AB的長．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ+4ρsinθ=3，即曲線C的極坐標方程為ρ²（cos²θ-sin²θ）+4ρsinθ=3，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化為直角坐標方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程變形為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{1}{2}m}\\{y=2-\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，（m為參數(shù)）代入曲線C的方程可得：m²-4m-10=0，利用|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ+4ρsinθ=3，即曲線C的極坐標方程為ρ²（cos²θ-sin²θ）+4ρsinθ=3，化為直角坐標方程：x²-y²+4y-3=0．
（II）把直線l的參數(shù)方程變形為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{1}{2}m}\\{y=2-\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，（m為參數(shù)）代入曲線C的方程可得：m²-4m-10=0，
∴m₁+m₂=4，m₁m₂=-10．
∴|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-4×（-10）}$=2$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與曲線相交弦長公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．