Question

6．已知函數(shù)f（x）=klnx-x²，k∈R．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，求k的取值范圍；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可；
（Ⅱ）法一：通過討論k的范圍，集合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出圖象，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得f′（x）≥0在（0，1]上恒成立…（1分）
∵f′（x）=$\frac{k}{x}$-2x且x∈（0，1]，
∴f′（x）≥0?k≥2x² …（2分）
∵y=2x²在（0，1]上遞增，
∴（2x²）_max=2，…（3分）
∴k的取值范圍是[2，+∞）…（4分）
（Ⅱ）解法1：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=-x²（x＞0）沒有零點(diǎn)；…（5分）
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，f′（x）=$\frac{k-{2x}^{2}}{x}$（x＞0）…（6分）
∴k＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
且x→0且x＞0時(shí)，f（x）→+∞；x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，因此f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；…（7分）
又k＞0時(shí)有

x	（0，$\sqrt{\frac{k}{2}}$）	$\sqrt{\frac{k}{2}}$	（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值$\frac{1}{2e}$	遞減

x→+∞時(shí)，f（x）→-∞；x→0且x＞0時(shí)，f（x）→-∞；
f（x）_max=f（$\sqrt{\frac{k}{2}}$）=$\frac{k}{2}$（ln$\frac{k}{2}$-1）…（9分）
∴l(xiāng)n$\frac{k}{2}$=1即k=2e時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；
ln$\frac{k}{2}$＜1即0＜k＜2e時(shí)，f（x）無零點(diǎn)；
ln$\frac{k}{2}$＞1即k＞2e時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，…（11分）
綜上所述，
當(dāng)k∈[0，2e）時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；
當(dāng)k=2e或k∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)k∈（2e，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)…（12分）
解法2：當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=-x²（x＞0）沒有零點(diǎn)；…（5分）
當(dāng)k≠0時(shí)方程f（x）=0⇒$\frac{1}{k}$=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0）…（6分）
設(shè)φ（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），則φ′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$…（7分）
則有

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
φ′（x）	+	0	-
φ（x）	遞增	極大值$\frac{1}{2e}$	遞減

而x→0且x＞0時(shí)，φ（x）→-∞；x→+∞且x＞0時(shí)，φ（x）→0且φ（x）＞0…（8分）
…（9分）
由圖可知：
當(dāng)$\frac{1}{k}$＞$\frac{1}{2e}$，即k∈（0，2e）時(shí)，y=$\frac{1}{k}$與y=f（x）圖象沒有公共點(diǎn)；
當(dāng)$\frac{1}{k}$=$\frac{1}{2e}$或$\frac{1}{k}$＜0，即k=2e或k∈（-∞，0）時(shí)，y=$\frac{1}{k}$與y=k（x）圖象有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)0＜$\frac{1}{k}$＜$\frac{1}{2e}$，即k∈（2e，+∞）時(shí)，y=$\frac{1}{k}$與y=k（x）圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)…（11分）
綜上所述，
當(dāng)k∈[0，2e）時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；
當(dāng)k=2e或k∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)k∈（2e，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．