Question

18．設函數(shù)f（x）=x³-ax-b，x∈R，其中a，b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）存在極值點x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀；求證：x₁+2x₀=0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，討論a≤0時f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當a＞0時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）由條件判斷出a＞0，且x₀≠0，由f′（x₀）=0求出x₀，分別代入解析式化簡f（x₀），f（-2x₀），化簡整理后可得證．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）=x³-ax-b，則f′（x）=3x²-a，
分兩種情況討論：
①、當a≤0時，有f′（x）=3x²-a≥0恒成立，
此時f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞），
②、當a＞0時，令f′（x）=3x²-a=0，解得x=-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x=$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
當x＞$\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$時，f′（x）=3x²-a＞0，f（x）為增函數(shù)，
當-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{3}$時，f′（x）=3x²-a＜0，f（x）為減函數(shù)，
故f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）；
（Ⅱ）若f（x）存在極值點x₀，則必有a＞0，且x₀≠0，
由題意可得，f′（x）=3x²-a，則x₀²=$\frac{a}{3}$，
進而f（x₀）=x₀³-ax₀-b=-$\frac{2a}{3}$x₀-b，
又f（-2x₀）=-8x₀³+2ax₀-b=-$\frac{8}{3}$x₀+2ax₀-b=f（x₀），
由題意及（Ⅰ）可得：存在唯一的實數(shù)x₁，滿足f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，
則有x₁=-2x₀，故有x₁+2x₀=0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和最值，注意運用分類討論的思想方法和轉化思想，考查分析法在證明中的應用，以及化簡整理、運算能力，屬于難題．