Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx（a∈R），g(x)=

lnx

x

，其中x∈（0，e]
（1）若a=1，求f（x）的極小值；
（2）在（1）條件下證明f(x)＞g(x)+

1

2

；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a＞0，使f（x）的最小值為3，如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)小于0得單調(diào)減區(qū)間，導(dǎo)數(shù)大于0的增區(qū)間，從而確定函數(shù)的極值；
（2）確定f（x）在（0，e）上的最小值為1，h（x）=g（x）+

1

2

 在（0，e]上的最大值為1，從而得證；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]有最小值3，由于f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，故要進(jìn)行分類討論：①0＜

1

a

＜e；②

1

a

≥e，從而得解．

解答：解：（1）∵f（x）=ax-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．…（3分）
∴f（x）的極小值為f（1）=1．…（4分）
（2）∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e）上的最小值為1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1．…（6分）
令h（x）=g（x）+

1

2

=

lnx

x

+

1

2

，h′（x）=

1-lnx

x2

，
當(dāng)0＜x≤e時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，e]上單調(diào)遞增，
∴h（x）≤h（e）=

1

e

+

1

2

＜

1

2

+

1

2

=1，…（9分）
∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+

1

2

．…（10分）
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]有最小值3，f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，e]上單調(diào)遞增．
f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．…（13分）
②當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
所以，此時(shí)f（x）無最小值．…（15分）
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f（x）有最小值為3．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，同時(shí)考查了存在性問題．