3.已知O為坐標(biāo)原點,A(1,2),點P的坐標(biāo)(x,y)滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$,則z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為2.

分析 去絕對值號,便可將不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$變成$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{y<0}\\{x≥0}\end{array}\right.$,這樣即可畫出點P所在的平面區(qū)域,然后可求出z=x+2y,進而得到$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$,該方程表示平行于$y=-\frac{1}{2}x$的一族平行直線,并且在y軸上的截距為$\frac{z}{2}$,從而得出截距最大時,z最大,這樣結(jié)合圖形即可找出直線過哪點時,截距最大,從而求出z的最大值.

解答 解:由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$得,$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{y<0}\\{x≥0}\end{array}\right.$;
∴點P所在平面區(qū)域如下圖陰影部分所示:
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=x+2y$;
∴z=x+2y;
∴$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$,表示平行于$y=-\frac{1}{2}x$的一族平行直線,在y軸上的截距為$\frac{z}{2}$;
∴截距$\frac{z}{2}$最大時,z最大;
由圖看出,直線過點A1(0,1)時,z最大,最大值為2.
故答案為:2.

點評 含絕對值不等式的處理方法:去絕對值號,能畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,能求直線在y軸上的截距,以及線性規(guī)劃的知識.

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