18.一個玻璃瓶中裝有大小相等質(zhì)地均勻顏色各不相同的玻璃小球共3個,現(xiàn)隨機的倒出小球(至少倒出一個),倒后重新將倒出小球裝回原瓶中,進行下一次操作.現(xiàn)通過倒玻璃球走跳棋游戲,規(guī)則如下:棋盤上標(biāo)有第0站,第1站,第2站…一枚棋子開始停在第0站,棋手將玻璃瓶中的小球倒出,若倒出的小球是奇數(shù)個,將棋子向前走一步;若倒出的小球是偶數(shù)個,則將棋子向前走兩步.然后將倒出的小球裝回原玻璃瓶,準(zhǔn)備下一次操作.設(shè)棋子跳到第n站(n∈N*)的概率為Pn,已知P0=1.
(1)求倒出的小球是奇數(shù)個的概率;
(2)求P1、P2;
(3)證明:數(shù)列$\{{P_n}-{P_{n-1}}\},n∈{N^*}$是等比數(shù)列,并求Pn

分析 (1)根據(jù)排列組合的知識即可求出,
(2)由(1)可得p1,再根據(jù)概率公式即可求出P2,
(3)根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到Pn-Pn-1=an,則${a_{n+1}}=-\frac{3}{7}{a_n}(n≥1)$,即可求出通項公式,再根據(jù)累加法,即可求出Pn

解答 解:(1)倒出奇數(shù)個的概率$P=\frac{C_3^1+C_3^3}{C_3^1+C_3^2+C_3^3}=\frac{4}{7}$,
(2)${P_1}=\frac{4}{7}$,
注意到棋子落在第2站,可以是從第0站開始跳2步到第2站,也可以是從第1站跳1步到第2站,且(1)知,倒出偶數(shù)個小球的概率為$\frac{3}{7}$
則${P_2}=\frac{3}{7}{P_0}+\frac{4}{7}{P_1}=\frac{37}{49}$,
(3)由題意得  ${P_{n+1}}=\frac{4}{7}{P_n}+\frac{3}{7}{P_{n-1}}(n≥1)$,
變形得:${P_{n+1}}-{P_n}=-\frac{3}{7}({P_n}-{P_{n-1}})(n≥1)$,
令Pn-Pn-1=an,則${a_{n+1}}=-\frac{3}{7}{a_n}(n≥1)$,
∴數(shù)列$\{{P_n}-{P_{n-1}}\},n∈{N^*}$是首項${a_1}={P_1}-{P_0}=-\frac{3}{7}$,公比$q=-\frac{3}{7}$的等比數(shù)列,
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={(-\frac{3}{7})^n},n≥1$,
∴${P_n}={P_{n-1}}+{(-\frac{3}{7})^n},n≥1$,
∴${P_1}={P_0}+{(-\frac{3}{7})^1}$,
${P_2}={P_1}+{(-\frac{3}{7})^2}$,
${P_3}={P_2}+{(-\frac{3}{7})^3}$,

${P_n}={P_{n-1}}+{(-\frac{3}{7})^n}$
累加求和得:${P_n}=1+{(-\frac{3}{7})^1}+{(-\frac{3}{7})^2}+…{(-\frac{3}{7})^n}=\frac{7}{10}[1-{(-\frac{3}{7})^{n+1}}]$,
∴${P_n}=\frac{7}{10}[1-{(-\frac{3}{7})^{n+1}}],n≥1$.

點評 本題借助概率的知識,考查了數(shù)列的應(yīng)用,以及數(shù)列的通項公式和前n和公式的求法,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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