Question

18．一個玻璃瓶中裝有大小相等質地均勻顏色各不相同的玻璃小球共3個，現(xiàn)隨機的倒出小球（至少倒出一個），倒后重新將倒出小球裝回原瓶中，進行下一次操作．現(xiàn)通過倒玻璃球走跳棋游戲，規(guī)則如下：棋盤上標有第0站，第1站，第2站…一枚棋子開始停在第0站，棋手將玻璃瓶中的小球倒出，若倒出的小球是奇數個，將棋子向前走一步；若倒出的小球是偶數個，則將棋子向前走兩步．然后將倒出的小球裝回原玻璃瓶，準備下一次操作．設棋子跳到第n站（n∈N^*）的概率為P_n，已知P₀=1．
（1）求倒出的小球是奇數個的概率；
（2）求P₁、P₂；
（3）證明：數列$\{{P_n}-{P_{n-1}}\}，n∈{N^*}$是等比數列，并求P_n．

Answer 1

分析 （1）根據排列組合的知識即可求出，
（2）由（1）可得p₁，再根據概率公式即可求出P₂，
（3）根據數列的遞推公式得到P_n-P_n-1=a_n，則${a_{n+1}}=-\frac{3}{7}{a_n}（n≥1）$，即可求出通項公式，再根據累加法，即可求出P_n．

解答 解：（1）倒出奇數個的概率$P=\frac{C_3^1+C_3^3}{C_3^1+C_3^2+C_3^3}=\frac{4}{7}$，
（2）${P_1}=\frac{4}{7}$，
注意到棋子落在第2站，可以是從第0站開始跳2步到第2站，也可以是從第1站跳1步到第2站，且（1）知，倒出偶數個小球的概率為$\frac{3}{7}$
則${P_2}=\frac{3}{7}{P_0}+\frac{4}{7}{P_1}=\frac{37}{49}$，
（3）由題意得  ${P_{n+1}}=\frac{4}{7}{P_n}+\frac{3}{7}{P_{n-1}}（n≥1）$，
變形得：${P_{n+1}}-{P_n}=-\frac{3}{7}（{P_n}-{P_{n-1}}）（n≥1）$，
令P_n-P_n-1=a_n，則${a_{n+1}}=-\frac{3}{7}{a_n}（n≥1）$，
∴數列$\{{P_n}-{P_{n-1}}\}，n∈{N^*}$是首項${a_1}={P_1}-{P_0}=-\frac{3}{7}$，公比$q=-\frac{3}{7}$的等比數列，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={（-\frac{3}{7}）^n}，n≥1$，
∴${P_n}={P_{n-1}}+{（-\frac{3}{7}）^n}，n≥1$，
∴${P_1}={P_0}+{（-\frac{3}{7}）^1}$，
${P_2}={P_1}+{（-\frac{3}{7}）^2}$，
${P_3}={P_2}+{（-\frac{3}{7}）^3}$，
…
${P_n}={P_{n-1}}+{（-\frac{3}{7}）^n}$
累加求和得：${P_n}=1+{（-\frac{3}{7}）^1}+{（-\frac{3}{7}）^2}+…{（-\frac{3}{7}）^n}=\frac{7}{10}[1-{（-\frac{3}{7}）^{n+1}}]$，
∴${P_n}=\frac{7}{10}[1-{（-\frac{3}{7}）^{n+1}}]，n≥1$．

點評 本題借助概率的知識，考查了數列的應用，以及數列的通項公式和前n和公式的求法，屬于中檔題．