Question

8．已知定義域為R的函數$f（x）=\frac{{-{2^x}+a}}{{{2^x}+1}}$是奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）用定義證明：f（x）在R上是減函數；
（3）若對于任意$x∈[\frac{1}{2}，3]$都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）為R上的奇函數，從而有f（0）=0，這樣便可求出a=1；
（2）可求得$f（x）=-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$，根據減函數的定義，設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根據指數函數的單調性便可證明f（x₁）＞f（x₂），這樣即可證出f（x）在R上是減函數；
（3）根據f（x）為R上的奇函數且為減函數便可由條件得出$k＜\frac{1-2x}{{x}^{2}}$對任意的$x∈[\frac{1}{2}，3]$恒成立，可設g（x）=$（\frac{1}{x}）^{2}-2•\frac{1}{x}$，并可令$\frac{1}{x}=t，t∈[\frac{1}{3}，2]$，從而可得到$h（t）={t}^{2}-2t，t∈[\frac{1}{3}，2]$，這樣便可求出h（t）在$[\frac{1}{3}，2]$的最小值，即得出g（x）的最小值，從而便可得出k的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）是奇函數且定義域為R可得f（0）=0；
即$\frac{-1+a}{2}=0$；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$；
（2）由（1）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=-1+\frac{2}{{{2^x}+1}}$，設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂，y=2^x在R上遞增；
∴${2}^{{x}_{2}}＞{2}^{{x}_{1}}$＞0；
${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，${2^{x_1}}+1＞1$，${2^{x_2}}+1＞1$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上單調遞減；
（3）因f（x）是奇函數，從而不等式：f（kx²）+f（2x-1）＞0等價于f（kx²）＞f（1-2x）；
因f（x）為減函數，由上式推得：kx²＜1-2x；
即對一切$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$有：$k＜\frac{1-2x}{{x}^{2}}$恒成立；
設$g（x）=\frac{1-2x}{{x}^{2}}=（\frac{1}{x}）^{2}-2•\frac{1}{x}$，令$\frac{1}{x}=t$，t$∈[\frac{1}{3}，2]$；
則有$h（t）={t^2}-2t，t∈[{\frac{1}{3}，2}]$；
∴g（x）_min=h（t）_min=g（1）=-1；
∴k＜-1，即k的取值范圍為（-∞，-1）．

點評 考查奇函數的定義，奇函數在原點有定義時，原點處的函數值為0，指數函數的單調性，以及減函數的定義，利用減函數的定義證明一個函數為減函數的方法和過程，不等式的性質，換元法的應用，求二次函數在閉區(qū)間上最值的方法．