Question

3．函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一個周期內(nèi)，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時y取最大值1，當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時y取最小值-1．
（1）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{5π}{36}$，$\frac{19π}{36}$]時．求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)的半周期為$\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}$，代入周期公式求出ω，利用特殊值解出φ，得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)x的范圍得出3x-$\frac{π}{4}$的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）的值域．

解答 解：（1）由題意可知f（x）的周期T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}$）=$\frac{2π}{3}$．
∴ω=$\frac{2π}{T}$=3．
∵f（$\frac{π}{4}$）=1，∴sin（$\frac{3π}{4}+$φ）=1，
∴$\frac{3π}{4}+$φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，φ=-$\frac{π}{4}+2kπ$，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴當(dāng)k=0時，φ=-$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）當(dāng)x∈[$\frac{5π}{36}$，$\frac{19π}{36}$]時，3x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴當(dāng)3x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值1，
當(dāng)3x-$\frac{π}{4}$=$\frac{4π}{3}$時，f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴函數(shù)y=f（x）的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．