Question

13．若關(guān)于x的不等式（2x-1）²＜ax²的解集中整數(shù)解恰有3個，則實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{25}{9}$，$\frac{49}{16}$]．

Answer 1

分析 由題意，原不等式轉(zhuǎn)化為[（$\sqrt{a}$+2）x-1][（$\sqrt{a}$-2）x+1]＞0，得到a的解集，由解集中的整數(shù)恰有3個，且為1，2，3，得到a的不等式，解不等式可得a的范圍．

解答 解：由題知，a＞0 則
（2x-1）²＜ax²即為ax²-（2x-1）²＞0．
即（$\sqrt{a}$x+2x-1）（$\sqrt{a}$x-2x+1）＞0，
即[（$\sqrt{a}$+2）x-1][（$\sqrt{a}$-2）x+1]＞0，
由于$\sqrt{a}$+2＞0，而不等式的解答中恰有3個整數(shù)解，
故必有$\sqrt{a}$-2＜0，即必有a＜4，
所以不等式可變?yōu)閇（$\sqrt{a}$+2）x-1][（2-$\sqrt{a}$）x-1]＜0，
解得$\frac{1}{\sqrt{a}+2}$＜x＜$\frac{1}{2-\sqrt{a}}$，
又0＜$\frac{1}{\sqrt{a}+2}$＜1，結(jié)合解集中恰有兩個整數(shù)，即為1，2，3
可得3＜$\frac{1}{2-\sqrt{a}}$≤4，
解得$\frac{25}{9}$＜a≤$\frac{49}{16}$．
所以a的取值范圍為（$\frac{25}{9}$，$\frac{49}{16}$]．
故答案為：（$\frac{25}{9}$，$\frac{49}{16}$]．

點(diǎn)評 本題考查學(xué)生解含參一元二次不等式的能力，運(yùn)用一元二次不等式解決數(shù)學(xué)問題的能力．