Question

6．據(jù)環(huán)保部通報(bào)，2016年10月24日起，京津冀周邊霧霾又起，為此，環(huán)保部及時(shí)提出防控建議，推動(dòng)應(yīng)對工作由過去“大水漫灌式”的減排方式轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)現(xiàn)精確打擊．某燃煤企業(yè)為提高應(yīng)急聯(lián)動(dòng)的同步性，新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以降低對大氣環(huán)境的污染，已知過濾后廢氣的污染物數(shù)量N（單位：mg/L）與過濾時(shí)間t（單位：小時(shí)）間的關(guān)系為N（t）=N₀e^-λt（N₀，λ均為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）其中N₀為t=0時(shí)的污染物數(shù)量，若經(jīng)過5小時(shí)過濾后污染物數(shù)量為$\frac{1}{e}$N₀．
（1）求常數(shù)λ的值；
（2）試計(jì)算污染物減少到最初的10%至少需要多少時(shí)間？（精確到1小時(shí)）
參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln10≈2.30．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\frac{1}{e}$N₀=N₀e^-5λ；從而解得λ；
（2）由（1）知，N（t）=N₀${e}^{-\frac{1}{5}t}$，N₀${e}^{-\frac{1}{5}t}$≤N₀10%，解出t≥12，從而得到最小值．

解答 解：（1）由題意，N（0）=N₀；N（5）=$\frac{1}{e}$N₀；
∴$\frac{1}{e}$N₀=N₀e^-5λ，
解得，λ=$\frac{1}{5}$；
（2）由（1）知，N（t）=N₀${e}^{-\frac{1}{5}t}$，
N₀${e}^{-\frac{1}{5}t}$≤N₀10%，
解得，t≥12，
故污染物減少到10%至少需要12小時(shí)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了對數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題．