Question

一個圓錐底面半徑為R，高為

3

R，求此圓錐的內(nèi)接正四棱柱表面積的最大值．

Answer 1

分析：設(shè)出正四棱柱的底面對角線的一半為x，根據(jù)軸截面上的兩個三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根據(jù)四棱柱的表面積公式做出表面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)正四棱柱的底面對角線的一半為x，
根據(jù)△PCB～△POA，
∴

x

R

=

PC

3R

，
∴PC=

3

x，
∴CO=

3

R-

3

x，
由正四棱柱的底面是一個正方形可知底面的邊長是

2

x，
∴四棱柱的表面積S=4x2-4

6

x2+4

6

Rx
=（4-4

6

）x²+4

6

Rx，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知
當(dāng)內(nèi)接正四棱柱的底面對角線一半的長是x=

6 R

2 6 -2

時
表面積S有最大值為

R2

4 6 -4

點評：本題考查四棱柱的表面積，考查三角形相似，考查列出函數(shù)式，考查二次函數(shù)的最值問題，本題考查的知識點比較多，是一個綜合題目．