20．已知直線y=kx+1，當k變化時，此直線被橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1截得的最大弦長是（　�。�
A．4B．$\frac{4\sqrt{3}}{3}$C．$\sqrt{3}$D．$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

分析 直線y=kx+1恒過定點P（0，1），且是橢圓的短軸上頂點，因而此直線被橢圓截得的弦長，即為點P與橢圓上任意一點Q的距離，設(shè)橢圓上任意一點Q（2cosθ，sinθ），利用三角函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答 解：直線y=kx+1恒過定點P（0，1），且是橢圓的短軸上頂點，
因而此直線被橢圓截得的弦長，即為點P與橢圓上任意一點Q的距離，
設(shè)橢圓上任意一點Q（2cosθ，sinθ）
∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ-1）2=-3sin2θ-2sinθ+5，
∴當sinθ=-$\frac{1}{3}$時，|PQ|2max=$\frac{16}{3}$，
∴直線被橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1截得的最大弦長|PQ|max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)知識，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為點P與橢圓上任意一點Q的距離的最大值．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點M（2，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點．
（1）若B點關(guān)于x軸的對稱點是N，證明：直線AN恒過一定點；
（2）試求橢圓C上是否存在點P，使F1APB為平行四邊形？若存在，求出F1APB的面積，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．設(shè)a，b，c大于0，則3個數(shù)：$a+\frac{1}$+1，$b+\frac{1}{c}$+1，$c+\frac{1}{a}$+1的值（　�。�
A．都大于3B．至多有一個不大于3
C．都小于3D．至少有一個不小于3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A為長軸的一個頂點，B為短軸的一個頂點，F(xiàn)為右焦點，且AB⊥BF，則橢圓M的離心率e為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標方程是ρ=asinθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）若a=2，直線l與x軸的交點是M，N是圓C上一動點，求|MN|的最大值；
（2）直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的$\sqrt{3}$倍，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．若AB為過橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1中心的線段，點A、B為橢圓上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的兩個焦點，則四邊形F1AF2B面積的最大值是8．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．如圖，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過焦點F1的直線交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為π，則|y1-y2|=3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知橢圓的中心在原點，焦點為${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，且離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）求以點P（2，-1）為中點的弦所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b=2$\sqrt{3}$．B=120°，C=30°，則a=（　�。�
A．1B．$\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．2

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