Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是線段PB的中點． （Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）求證：AQ∥平面PCD．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AC，AB平面ABCD， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，
∵PB⊥AC，AP⊥AC，PA，PB平面PAB，PA∩PB=P，
∴AC⊥平面PAB，
∵AB平面PAB，
∴AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A；
∴AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）取PC中點E，連結(jié)QE，ED，
∵Q是線段PB的中點，E是PC的中點，
∴QE∥BC，BC=2AD，
∴QE∥AD，QE=AD，
∴四邊形AQED是平行四邊形，
∴AQ∥DE，
∵AQ∥ED，ED平面PCD，
∴AQ∥平面PCD．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及PA⊥平面ABCD推斷出PA⊥AC，PA⊥AB，進而利用PB⊥AC，推斷出AC⊥平面PAB，利用線面垂直性質(zhì)可知AC⊥AB，再根據(jù)PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A推斷出AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中點E，連結(jié)QE，ED，推斷出QE為中位線，判讀出QE∥BC，BC=2AD，進而可知QE∥AD，QE=AD，判斷出四邊形AQED是平行四邊形，進而可推斷出AQ∥DE，最后根據(jù)線面平行的判定定理證明出AQ∥平面PCD．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．