Question

7．已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5，在圓錐內(nèi)部放置一個內(nèi)接圓柱（圓柱的一底面與圓錐的底面重合），
（Ⅰ）求圓柱的體積V與其底面半徑r的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）求圓柱的體積V最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）畫出圓錐及內(nèi)接圓柱的軸截面，根據(jù)三角形相似對應邊成比例，用r表示圓柱的高x，代入圓柱體積公式，可得答案；
（Ⅱ）由（I）中體積的表達式，利用導數(shù)法，可得V的最大值點，進而得到V的最大值．

解答 解：（Ⅰ）如下圖所示：
 
圓錐的底面半徑R=3，母線長l=5，
則圓錐的高h=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
當圓錐內(nèi)部放置一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為r時，圓柱的高x滿足：$\frac{r}{R}=\frac{h-x}{h}$，即x=4-$\frac{4}{3}r$，
故圓柱的體積V=${4{πr}^{2}-\frac{4}{3}πr}^{3}$；
（Ⅱ）由（I）得：V′=8πr-4πr²，
當r∈（0，2）時，V′＞0，V隨r的增大而增大；
當r∈（2，3）時，V′＜0，V隨r的增大而減小；
故當r=2時，V取最大值$\frac{16}{3}π$

點評 本題考查的知識點是圓柱和圓錐的幾何特征，函數(shù)的最大值，難度中檔．