Question

17．P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左、右焦點(diǎn)，如圖所示．
（1）若PF₁的中點(diǎn)為M，求證：MO=5-$\frac{1}{2}$|PF₁|；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|的值以及△PF₁F₂的面積；
（3）橢圓上是否存在點(diǎn)P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在△F₁PF₂中，MO為中位線，根據(jù)三角形的中位線定理再結(jié)合橢圓的定義即可得出答案；
（2）先利用橢圓的定義得到：|PF₁|+|PF₂|=10，再在△PF₁F₂中利用余弦定理得出cos 60°=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，兩者結(jié)合即可求得|PF₁|•|PF₂|，由三角形面積公式即可得解；
（3）先設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)橢圓的性質(zhì)，易知F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），寫出向量的坐標(biāo)再結(jié)合向量垂直的條件得出關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，由此方程組無(wú)解，故這樣的點(diǎn)P不存在．

解答 證明：（1）在△F₁PF₂中，MO為中位線，
∴|MO|=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$=$\frac{2a-|P{F}_{1}|}{2}$
=a-$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$=5-$\frac{1}{2}$|PF₁|．…．（3分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{64}{3}$．…（8分）
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|PF₁|×|PF₂|×sin60°=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．…（9分）
（3）解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則 $\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{16}=1$．①
易知F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），故$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-3-x₀，-y₀），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（3-x₀，-y₀），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴x${{\;}_{0}}^{2}$-9+y${{\;}_{0}}^{2}$=0，②
由①②組成方程組，此方程組無(wú)解，故這樣的點(diǎn)P不存在． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基本知識(shí)的考查．