Question

1．2016年12月1日，漢孝城際鐵路正式通車運營．除始發(fā)站（漢口站）與終到站（孝感東站）外，目前沿途設(shè)有7個停靠站，其中，武漢市轄區(qū)內(nèi)有4站（后湖站、金銀潭站、天河機(jī)場站、天河街站），孝感市轄區(qū)內(nèi)有3站（閔集站、毛陳站、槐蔭站）．為了了解該線路運營狀況，交通管理部門計劃從這7個車站中任選3站調(diào)研．
（1）求孝感市轄區(qū)內(nèi)至少選中1個車站的概率；
（2）若孝感市轄區(qū)內(nèi)共選中了X個車站，求隨機(jī)變量X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）記A=“選取的3個車站均不在孝感市轄區(qū)內(nèi)”，則事件“孝感市轄區(qū)內(nèi)至少選中1個車站”可表示為$\bar A$．由古典概型概率計算公式，有：$P（A）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，再利用$P（\overline{A}）$=1-P（A）即可得出．
（2）X的所有可能取值為：0、1、2、3，利用超幾何分布即可得出．

解答 解：（1）記A=“選取的3個車站均不在孝感市轄區(qū)內(nèi)”，則事件“孝感市轄區(qū)內(nèi)至少選中1個車站”可表示為$\overline{A}$．由古典概型概率計算公式，有：$P（A）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，
∴$P（\overline{A}）$=1-P（A）=1-$\frac{4}{35}$=$\frac{31}{35}$，即孝感市轄區(qū)內(nèi)至少選中1個車站的概率為$\frac{31}{35}$．…（5分）
（2）X的所有可能取值為：0、1、2、3，且：$P（X=0）=\frac{4}{35}$，$P（X=1）=\frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（X=2）=\frac{C_4^1C_3^2}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$…（9分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

…（10分）
∴$E（X）=0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}+3×\frac{1}{35}=\frac{45}{35}=\frac{9}{7}$…（12分）

點評 本題考查了古典概率計算公式、互為對立概率計算公式、超幾何分布列概率計算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．