Question

已知兩點M₁（0，0），M₂（1，0）．以M₁為圓心，M₁M₂為半徑作圓交x軸于點M₃（異于M₂），記作⊙M₁；以M₂為圓心，M₂M₃為半徑作圓交x軸于點M₄（異于M₃），記作⊙M₂；…；以M_n為圓心，M_nM_n+1為半徑作圓交x軸于點M_n+2（異于M_n+1），記作⊙M_n．當n∈N^*時，過原點作傾斜角為30°的直線與⊙M_n交于A_n，B_n．考察下列論斷：
當n=1時，A₁B₁=2；當n=2時，A₂B₂=

15

；當n=3時，A₃B₃=

35×42+23-1

3

；當n=4時，A₄B₄=

 

．
由以上論斷推測一個一般的結論：對于n∈N^*，A_nB_n=

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：由已知中當n∈N*時，過原點作傾斜角為30°的直線與⊙M_n交于A_n，B_n的相關論斷：當n=1時，|A₁B₁|=2=

35×40+(-1)0×21-1

3

；當n=2時，|A₂B₂|=

15

=

35×41+(-1)1×22-1

3

；當n=3時，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

=

35×42+(-1)2×23-1

3

；當n=4時，|A₄B₄|=

35×43+(-1)3×24-1

3

；…分析表達式中4的指數(shù)，第二項的系數(shù)，及2的指數(shù)的變化趨勢，即可得到答案．

解答： 解：由已知中，
當n=1時，|A₁B₁|=2=

35×40+(-1)0×21-1

3

；
當n=2時，|A₂B₂|=

15

=

35×41+(-1)1×22-1

3

；
當n=3時，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

=

35×42+(-1)2×23-1

3

；
當n=4時，|A₄B₄|=

35×43+(-1)3×24-1

3

=

247

；
…
∴對于n∈N^*，|A_nB_n|=

35×4n-1+(-1)n-1×2n-1

3

，
故答案為：

247

；

35×4n-1+(-1)n-1×2n-1

3

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．