Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

12

=1內一點A（1，-1），F為橢圓的右焦點，在橢圓上有一點P，求|PA|+2|PF|的最小值及取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出橢圓的a，b，c，以及離心率e，右準線方程，再由橢圓的第二定義，可得|PF|=ed=

1

2

d，則|PA|+2|PF|=|PA|+d，過A作AM垂直于l，垂足為M，則AM的長即為所求，再令y=-1，代入橢圓方程，求得x，即可得到所求P的坐標．

解答： 解：橢圓的左、右焦點分別為F₁（-2，0），F（2，0），
可得，a=4，c=2，b=2

3

，
則離心率e=

c

a

=

1

2

．右準線l的方程為x=8，
由橢圓的第二定義，可得，e=

|PF|

d

（d為P到右準線的距離），
則有|PF|=ed=

1

2

d，
則|PA|+2|PF|=|PA|+d，
過A作AM垂直于l，垂足為M，
即有|PA|+d≥|AM|=8-1=7．
即有最小值為7，
令y=-1，則

x2

16

+

1

12

=1，解得，x=±

2 33

3

，
則取P（

2 33

3

，-1）．

點評：本題考查橢圓的定義和性質，考查離心率的運用，以及橢圓的定義的運用：到焦點的距離轉化為到準線的距離，考查運算能力，屬于中檔題．