Question

（2010•溫州一模）已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=a，且f(n+1)=

f(n)-1 f(n) 2f(n)，f(n)≤1

，f(n)＞1，若對(duì)任意的n∈N^*總有f（n+3）=f（n）成立，則a在（0，1]內(nèi)的可能值有 （　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：欲求出對(duì)任意的n∈N^*總有f（n+3）=f（n）成立時(shí)a在（0，1]內(nèi)的可能值，只須考慮n=1時(shí)，使得方程f（4）=f（1）的a在（0，1]內(nèi)的可能值即可．對(duì)a進(jìn)行分類討論，結(jié)合分段函數(shù)的解析式列出方程求解即可．

解答：解：∵0＜a≤1，
∴f（2）=2f（1）=2a，
①當(dāng)0＜a≤

1

4

時(shí)，0＜2a≤

1

2

，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此時(shí)f（4）=f（1）不成立；
②當(dāng)

1

4

＜a≤

1

2

時(shí)，

1

2

＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=

f(3)-1

f(3)

=

4a-1

4a

，
此時(shí)f（4）=f（1）?

4a-1

4a

=a?a=

1

2

；
③當(dāng)

1

2

＜a≤1時(shí)，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=

f(2)-1

f(2)

=

2a-1

2a

≤

1

2

，
∴f（4）=2f（3）=

2a-1

a

，
此時(shí)f（4）=f（1）?

2a-1

a

=a?a=1；
綜上所述，當(dāng)n=1時(shí)，有f（n+3）=f（n）成立時(shí)，
則a在（0，1]內(nèi)的可能值有兩個(gè)． 
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)恒成立問題、方程式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．