Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定義在R上的兩個函數(shù)，給出下列4 個命題：
①關(guān)于x的方程f（x）-k=0恰有四個不相等實數(shù)根的充要條件是k∈（-1，1）；
②關(guān)于x的方程f（x）=g（x）恰有四個不相等實數(shù)根的充要條件是m∈[0，1]；
③當m=1時，對?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）成立；
④若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，則m∈（-1，+∞）．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象判斷①的正誤；畫出f（x）=-2|2|x|-1|+1和y=x²-2|x|的圖象即可判斷②的正誤；利用特殊值判斷③的正誤；利用函數(shù)的最值關(guān)系判斷④的正誤．

解答： 解：對于①，作出f（x）=-2|2|x|-1|+1如圖所示，可知，關(guān)于x的方程f（x）-k=0恰有四個不相等實數(shù)根的充要條件為k∈（-1，1），故①錯；
對于②，在同一坐標系中作出f（x）=-2|2|x|-1|+1和y=x²-2|x|的圖象，由圖象可知當m∈(-1，

7

4

)時方程f（x）=g（x）恰有四個不相等實數(shù)根，故②錯；
對于③，因為f(-

1

2

)=1，當x₂∈[-1，0]時，g（x₂）∈[0，1]，故③錯；
對于④，由題可知，只需當x∈[-1，1]時f（x）_min＜g（x）_max即可．易得f（x）_min=-1，g（x）_max=m，所以m∈（-1，+∞），所以④正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查命題的真假的判斷與應用，利用函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合以及特殊值的判斷是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力．