在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若△ABC的面積為
1
8
，其外接圓直徑為4，求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
a
+
b
+
c
．
考點(diǎn)：正弦定理
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：由正弦定理和題意得：sinA=
a
4
、sinB=
b
4
、sinC=
c
4
，代入三角形面積公式化簡(jiǎn)得abc=1，再利用基本不等式進(jìn)行證明不等式成立．
解答： 證明：由正弦定理得，
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R=4，
所以sinA=
a
4
，sinB=
b
4
，sinC=
c
4
，
因?yàn)椤鰽BC的面積為
1
8
，所以
1
2
absinC=
1
8
，
即
1
2
ab×
c
4
=
1
8
，解得abc=1，
因?yàn)?span id="pd5v9zj" class="MathJye">
1
a
+
1
b
≥2
1
ab
=2
abc
ab
=2
c
，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）
1
a
+
1
c
≥2
1
ac
=2
abc
ac
=2
b
，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)）
1
b
+
1
c
≥2
1
bc
=2
abc
bc
=2
a
，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），
以上三個(gè)不等式相加得，2（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥2（
a
+
b
+
c
），
則
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
a
+
b
+
c
，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中有兩個(gè)角分別為30°和45°，且a+b+c=4（sinA+sinB+sinC），求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

找規(guī)律填數(shù)；
3
2
，1，
5
6
，
3
4
，
 
，
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個(gè)正四棱錐的三視圖如圖所示，則此正四棱錐的側(cè)面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x2-2x，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]的值域也是[m，n]（n＞m），求m，n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果直線l⊥平面α，①若直線m⊥l，則m∥α；②若m⊥α，則m∥l；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，上述判斷正確的是 （　　）
A、①②③B、②③④
C、①③④D、②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(2，
π
2
)且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=1，且2cosC+c=2b，則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是（　�。�
A、[0，2）
B、（2，3）
C、[2，3）
D、（2，3]

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