Question

14．在直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)P為曲線C₁上的動點，求點P到C₂上點的距離的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1消參數(shù)得到C₁的普通方程，將極坐標方程左側(cè)展開即可得到直角坐標方程；
（II）利用C₁的參數(shù)方程求出P到C₂的距離，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出距離的最小值．

解答 解：（I）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$得cosα=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，sinα=y．∴曲線C₁的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
∵$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=8．即x+y-8=0．∴曲線C₂的直角坐標方程時x+y-8=0．
（II）設(shè)P點坐標（$\sqrt{3}cosα$，sinα），∴P到直線C₂的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴當sin（α+$\frac{π}{3}$）=1時，d取得最小值$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程下距離公式的最值，屬于基礎(chǔ)題．