Question

4．極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中長度單位相同，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），斜率為$\sqrt{3}$的直線l交y軸于點(diǎn)E（0，1）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|EA|•|EB|的值．

Answer 1

分析 （I）將ρ=2（cosθ+sinθ）兩邊同時(shí)乘以ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程；直線l的傾斜角為60°，設(shè)直線l上任意一點(diǎn)到E的距離為t，則x=tcos60°，y=tsin60°+1．得出參數(shù)方程．
（2）將參數(shù)方程代入曲線方程求出A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，即可得出答案．

解答 解：（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R）．
（II）將$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$代入曲線C方程得（$\frac{1}{2}t-1$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}t$）²=2，
即t²-t-1=0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=-1．
|EA|=|t₁|，|EB|=|t₂|，
∴|EA|•|EB|=|t₁t₂|=1．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題．