Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≤1，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（3）關(guān)于x的方程10^f（x）=ax有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令真數(shù)大于0可得到函數(shù)的定義域，利用對數(shù)的運(yùn)算律化簡f（-x），判斷出與f（x）的關(guān)系，再由函數(shù)奇偶性的定義得出結(jié)論；
（2）把f（x）≤1化為：lg

1-x

1+x

≤lg10，由函數(shù)的定義域和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組求出x的范圍；
（3）根據(jù)解析式把方程10^f（x）=ax有實(shí)數(shù)解化為：a=

1-x

x2+x

在（-1，1）有實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=

1-x

x2+x

，并求出g′（x）化簡后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值、最小值，得到函數(shù)的值域，就是實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由

1-x

1+x

＞0得，（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1），
因?yàn)閒（-x）=lg

1+x

1-x

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）由f（x）≤1得，lg

1-x

1+x

≤1=lg10，
所以

1-x 1+x ＞0 1-x 1+x ≤10

，即

-1＜x＜1 1-x≤10+10x

，解得-

9

11

≤x＜1，
則實(shí)數(shù)x的取值范圍是[-

9

11

，1）；
（3）由10^f（x）=ax得，

1-x

1+x

=ax，且-1＜x＜1，
當(dāng)x=0時(shí)，方程不成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，方程化為a=

1-x

x2+x

，設(shè)g（x）=

1-x

x2+x

，
則方程10^f（x）=ax有實(shí)數(shù)解化為a=

1-x

x2+x

在（-1，1）有實(shí)數(shù)解，
即實(shí)數(shù)k屬于函數(shù)g（x）=

1-x

x2+x

在（-1，1）上的值域，
則g′（x）=

-(x2+x)-(1-x)(2x+1)

(x2+x)2

=

x2-2x-1

(x2+x)2

，
令h（x）=x²-2x-1=0，解得x=

2± 4+4

2

=1±

2

，則x=1-

2

，
所以當(dāng)-1＜x＜1-

2

時(shí)，h（x）＞0，則g′（x）＞0，
當(dāng)1-

2

＜x＜1時(shí)，h（x）＜0，則g′（x）＜0，
所以g（x）在區(qū)間（-1，1-

2

）單調(diào)遞增，在（1-

2

，1）上單調(diào)遞減，
則函數(shù)g（x）最小值是g（1-

2

）=

1-(1- 2 )

(1- 2 )2+1- 2

=-2

2

-3，
又g（1）=0，g（-1）無意義，所以函數(shù)g（x）最大值是0，
所以函數(shù)g（x）的值域是[-2

2

-3，0），
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[-2

2

-3，0）．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、定義域，函數(shù)奇偶性的判斷，對數(shù)不等式、分式不等式的求法，以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力與化歸、轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．