Question

18．已知圓O：x²+y²=4交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線x=4上一點(diǎn)，直線PA，PB分別交圓O于點(diǎn)N，M．
（1）若點(diǎn)N（0，2），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）寫(xiě)出直線AN的方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線BP的方程，由直線BP與圓的方程組成方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出點(diǎn)P，寫(xiě)出直線AN的方程，與圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線BM的方程，與圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出直線MN過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)N（0，2），A（-2，0），
所以直線AN的方程為y=x+2，
令x=4，則P（4，6），
又因?yàn)锽（2，0），
所以直線BP的方程為y=3（x-2），
由y=3（x-2）及x²+y²=4，
解得$M（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$；
（2）設(shè)P（4，t），因?yàn)辄c(diǎn)A（-2，0），
所以直線AN的方程為$y=\frac{t}{6}（x+2）$，
由$y=\frac{t}{6}（x+2）$及x²+y²=4，解得$N（\frac{{72-2{t^2}}}{{36+{t^2}}}，\frac{24t}{{36+{t^2}}}）$，
因?yàn)辄c(diǎn)B（2，0），所以直線BM的方程為$y=\frac{t}{2}（x-2）$，
由$y=\frac{t}{2}（x-2）$及x²+y²=4，解得$M（\frac{{2{t^2}-8}}{{4+{t^2}}}，\frac{-8t}{{4+{t^2}}}）$，
過(guò)定點(diǎn)C（1，0），因?yàn)?{k_{NC}}=\frac{{\frac{24t}{{36+{t^2}}}}}{{\frac{{72-2{t^2}}}{{36+{t^2}}}-1}}=\frac{8t}{{12-{t^2}}}$，
${k_{MC}}=\frac{{\frac{-8t}{{4+{t^2}}}}}{{\frac{{2{t^2}-8}}{{4+{t^2}}}-1}}=\frac{-8t}{{{t^2}-12}}$，
所以k_NC=k_MC，
所以M，N，C三點(diǎn)共線，
所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)C（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線過(guò)定點(diǎn)的判斷問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．