Question

13．已知A（-2，1），B（1，2），點(diǎn)C為直線y=$\frac{1}{3}$x上的動(dòng)點(diǎn)，則|AC|+|BC|的最小值為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由題意可得A、B兩點(diǎn)在直線y=$\frac{1}{3}$x上的同側(cè)，求得A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)，故當(dāng)點(diǎn)C為直線BM和直線y=$\frac{1}{3}$x的交點(diǎn)時(shí)，|AC|+|BC|的最小值為|BM|．

解答 解：由題意A、B兩點(diǎn)在直線y=$\frac{1}{3}$x的同側(cè)．
設(shè)A關(guān)于直線y=$\frac{1}{3}$x的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a+2}•\frac{1}{3}=-1}\\{\frac{1+b}{2}=\frac{1}{3}•\frac{a-2}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=-2
∴A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-2），
故當(dāng)點(diǎn)C為直線BM和直線y=$\frac{1}{3}$x的交點(diǎn)時(shí)，|AC|+|BC|的最小值為|BM|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2+2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．