Question

8．已知在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線m的極坐標方程為ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0）
（1）求曲線C的普通方程與直線m的直角坐標方程；
（2）當a=1時，求曲線C上的點到直線m的最大距離．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數），利用平方關系可得普通方程．直線m的極坐標方程為ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0），化為：2ρcosθ-ρsinθ=a，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）a=1時，直線m的方程為：2x-y-1=0．設曲線C上的任意一點P（2cosθ，sinθ），則點P到直線m的距離d=$\frac{|2cosθ-sinθ-1|}{\sqrt{5}}$，利用和差公式、三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數），
可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
直線m的極坐標方程為ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0），化為：2ρcosθ-ρsinθ=a，
可得直角坐標方程：2x-y-a=0．
（2）a=1時，直線m的方程為：2x-y-1=0．
設曲線C上的任意一點P（2cosθ，sinθ），
則點P到直線m的距離d=$\frac{|2cosθ-sinθ-1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ-φ）+1|}{\sqrt{5}}$
≤$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}}$=1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．當且僅當sin（θ-φ）=-1時取等號．
∴曲線C上的點到直線m的最大距離是1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標的互化、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數和差公式、睡覺時的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．