Question

8．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線m的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0）
（1）求曲線C的普通方程與直線m的直角坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)a=1時，求曲線C上的點(diǎn)到直線m的最大距離．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程．直線m的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0），化為：2ρcosθ-ρsinθ=a，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）a=1時，直線m的方程為：2x-y-1=0．設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)P（2cosθ，sinθ），則點(diǎn)P到直線m的距離d=$\frac{|2cosθ-sinθ-1|}{\sqrt{5}}$，利用和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
直線m的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0），化為：2ρcosθ-ρsinθ=a，
可得直角坐標(biāo)方程：2x-y-a=0．
（2）a=1時，直線m的方程為：2x-y-1=0．
設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)P（2cosθ，sinθ），
則點(diǎn)P到直線m的距離d=$\frac{|2cosθ-sinθ-1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ-φ）+1|}{\sqrt{5}}$
≤$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}}$=1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ-φ）=-1時取等號．
∴曲線C上的點(diǎn)到直線m的最大距離是1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)和差公式、睡覺時的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．