Question

設函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）-2

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并指出由f（x）的圖象如何變換得到函數(shù)y=cos2x的圖象；
（Ⅱ）△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A-

π

3

）=

1

2

，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（I）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=cos（2x+

π

3

），根據(jù)周期公式即可求f（x）的最小正周期T．根據(jù)正弦函數(shù)的平移規(guī)律可得y=cos（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

個單位長度得到函數(shù)y=cos2x．
（II）由已知及（I）可得cos（2A-

π

3

）=

1

2

，由A∈（0，π），可得A，由b+c=2及余弦定理，得a²=4-3bc，又bc≤（

b+c

2

）²=1即可求得a的最小值．

解答： 解：（I）∵f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

3

sin2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

）（3分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，…（4分）
由y=cos（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

個單位長度得到函數(shù)y=cos2x；…（6分）
（II）由f（A-

π

3

）=cos（2A-

π

3

）=

1

2

，A∈（0，π），可得A=

π

3

．…（8分）
由b+c=2及余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc=4-3bc，…（10分）
又bc≤（

b+c

2

）²=1僅當b=c=1時bc取最大值，此時a取最小值1．…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象，基本不等式的應用，屬于基本知識的考查．