Question

1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²≤1，則|x+2y-2|+|6-2x-3y|的最大值是8+$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可得6-2x-3y＞0，直線x+2y-2=0將圓x²+y²=1分成兩部分，
由此去掉絕對(duì)值|x+2y-2|+|6-2x-3y|，求出對(duì)應(yīng)解析式的最大值即可．

解答 解：由x²+y²≤1，可得6-2x-3y＞0，即|6-2x-3y|=6-2x-3y，
如圖所示，
直線x+2y-2=0將圓x²+y²=1分成兩部分，
在直線的上方（含直線），即有x+2y-2≥0，即|x+2y-2|=x+2y-2，
此時(shí)|x+2y-2|+|6-2x-3y|=（x+2y-2）+（6-2x-3y）=-x-y+4，
根據(jù)題意得在A（0，1）處取得最大值3；
在直線的下方（含直線），即有x+2y-2≤0，
即|x+2y-2|=-（x+2y-2），
此時(shí)|x+2y-2|+|6-2x-3y|=-（x+2y-2）+（6-2x-3y）=8-3x-5y，
設(shè)x=cosθ，y=sinθ，則
8-3x-5y=8-3cosθ-5sinθ=8-$\sqrt{{3}^{2}{+5}^{2}}$sin（θ+α）≤8+$\sqrt{34}$，sin（θ+α）=-1時(shí)取“=”；
綜上，|x+2y-2|+|6-2x-3y|的最大值為8+$\sqrt{34}$．
故答案為：8+$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的定義與應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．