Question

9．已知拋物線C：y²=4x的交點為F，直線y=x-1與C相交于A，B兩點，與雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=2（a＞0，b＞0）的漸近線相交于M，N兩點，若線段AB與MN的中點相同，則雙曲線E的離心率為$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)線段AB與MN的中點E（x₀，y₀）．直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為y²-4y-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得E（3，2）．
y=x-1分別與漸近線方程聯(lián)立解得A，B，利用中點坐標公式可得E，設(shè)$\frac{a}$=t，可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+{t}^{2}}$．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)線段AB與MN的中點E（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為y²-4y-4=0，∴y₁+y₂=4，∴y₀=2，x₀=3，∴E（3，2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{a}{a-b}，\frac{a-b}）$，B$（\frac{a}{a+b}，\frac{-b}{a+b}）$．
∴$\frac{a}{a-b}$+$\frac{a}{a+b}$=6，設(shè)$\frac{a}$=t，
∴$\frac{1}{1-t}$-$\frac{1}{1+t}$=6，解得t²=$\frac{2}{3}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點評 B本題考查了拋物線與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．