Question

16．已知拋物線y²=2px（p＞0），AB為過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦，AB的中垂線交拋物線E于點(diǎn)M、N．若A、M、B、N四點(diǎn)共圓，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 設(shè)l的方程為 x=my+$\frac{p}{2}$ （m≠0），代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點(diǎn)共圓等價(jià)于|AE|=|BE|=$\frac{1}{2}$|MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程．

解答 解：設(shè)直線AB為l，
由題意可得，直線l和坐標(biāo)軸不垂直，y²=2px的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)l的方程為 x=my+$\frac{p}{2}$（m≠0），
代入拋物線方程可得y²-2mpy-p²=0，顯然判別式△=4p²m²+4p²＞0，
y₁+y₂=2mp，y₁•y₂=-p²．
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D（pm²+$\frac{p}{2}$，mp），弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$|y₁-y₂|=2p（m²+1）．
又直線l′的斜率為-m，
∴直線l′的方程為 x=-$\frac{1}{m}$y+pm²+$\frac{3p}{2}$．
過(guò)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點(diǎn)，
把線l′的方程代入拋物線方程可得 y²+$\frac{2p}{m}$y-p²（2m²+3）=0，
∴y₃+y₄=-$\frac{2p}{m}$，y₃•y₄=-p²（2m²+3）．
故線段MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{p}{{m}^{2}}$+pm²+$\frac{3p}{2}$，-$\frac{p}{m}$），
∴|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$|y₃-y₄|=$\frac{2p（{m}^{2}+1）•\sqrt{2{m}^{2}+1}}{{m}^{2}}$，
∵M(jìn)N垂直平分線段AB，故AMBN四點(diǎn)共圓等價(jià)于|AE|=|BE|=$\frac{1}{2}$|MN|，
∴$\frac{1}{4}$AB²+DE²=$\frac{1}{4}$MN²，
∴p²（m²+1）² +（mp+$\frac{p}{m}$）²+（$\frac{p}{{m}^{2}}$+p）=$\frac{1}{4}$$\frac{4{p}^{2}（{m}^{2}+1）（2{m}^{2}+1）}{{m}^{4}}$，化簡(jiǎn)可得 m²-1=0，
∴m=±1，
∴直線AB的方程為 x-y-$\frac{P}{2}$=0，或 x+y-$\frac{P}{2}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．