Question

14．已知函數(shù)f（x）=a（x-2）•e^x-$\frac{1}{2}$x²+x．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在（2，f（2））處切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求得a=1時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程可得切線的方程；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對a討論，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）f′（x）=e^xx-e^x-x+1（x∈R），故切線斜率f′（2）=e²-1，f（2）=0，
所以，切線方程（e²-1）x-y-2（e²-1）=0．
（2）令f′（x）=0，（x-1）（ae^x-1）=0，
當(dāng)a∈（-∞，0]時(shí)，f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)$a∈（0，\frac{1}{e}）$時(shí)，f（x）在（-∞，1），$（ln\frac{1}{a}，+∞）$上為增函數(shù)，在$（1，ln\frac{1}{a}）$上為減函數(shù)
當(dāng)$a=\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在R上恒為增函數(shù)
當(dāng)$a∈（\frac{1}{e}，+∞）$時(shí)，f（x）在$（-∞，ln\frac{1}{a}）$，（1，+∞）上為增函數(shù)，在$（ln\frac{1}{a}，1）$上為減函數(shù)

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，以及二次不等式的解法，屬于中檔題．