Question

已知：函數(shù)f（x）=

a

2x+1

+b是定義在R上的奇函數(shù)，并且經(jīng)過點(diǎn)（1，-

1

6

）；
（1）求a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)過點(diǎn)（0，0）代入可求得b的值，再根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)（-1，-

1

6

），列出方程組求出a、b的值；
（2）判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再利用定義法能證明函數(shù)f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，由單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

2x+1

+b是定義在R上的奇函數(shù)，且過點(diǎn)（1，-

1

6

）
∴

f(0)=0 f(1)=- 1 6

，即

a 20+1 +b=0 a 21+1 +b=- 1 6

，
解得a=1、b=-

1

2

；
（2）由（1）得，f(x)=

1

2x+1

-

1

2

，則函數(shù)f（x）在[1，4]上是減函數(shù)，
證明如下：在區(qū)間[1，4]內(nèi)任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=

1

2x1+1

-

1

2

-（

1

2x2+1

-

1

2

）
=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值為：-

1

6

，
當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值為：-

15

34

，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的值域?yàn)椋篬-

15

34

，-

1

6

]

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值問題．