Question

如果cos²⁰¹⁵φ-sin²⁰¹⁵φ＞2014（cos²⁰¹⁴φ-sin²⁰¹⁴φ），φ∈[0，2π），則φ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關系的運用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：不等式整理后，設f（x）=x²⁰¹⁵-2014x²⁰¹⁴，由φ的范圍求出x的范圍，確定出導函數(shù)大于0，進而得到cosφ大于sinφ，即可確定出φ的范圍．

解答： 解：不等式cos²⁰¹⁵φ-sin²⁰¹⁵φ＞2014（cos²⁰¹⁴φ-sin²⁰¹⁴φ），
整理得：cos²⁰¹⁵φ-2014cos²⁰¹⁴φ＞sin²⁰¹⁵φ-2014sin²⁰¹⁴φ，
設f（x）=x²⁰¹⁵-2014x²⁰¹⁴，
∵φ∈[0，2π），
∴x∈[-1，1]，
∵當x∈[-1，0）時，f′（x）=2015x²⁰¹⁴-2014²x²⁰¹³=（2015x-2014²）x²⁰¹³＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)，
∵f（cosφ）＞f（sinφ），
∴cosφ＞sinφ，
∴φ的取值范圍是（

5π

4

，2π）；
當x∈[0，1）時，f′（x）=2015x²⁰¹⁴-2014²x²⁰¹³=（2015x-2014²）x²⁰¹³＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)，
∵f（cosφ）＞f（sinφ），
∴cosφ＜sinφ，
∴φ的取值范圍是[

π

4

，

π

2

），
綜上，φ的取值范圍是[

π

4

，

π

2

）∪（

5π

4

，2π）．
故答案為：[

π

4

，

π

2

）∪（

5π

4

，2π）

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，以及導函數(shù)的性質，熟練掌握導函數(shù)的性質是解本題的關鍵．